Aula 03 Matemática 30/03/21

Aula 03- Matemática 30/03/21
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Hoje vamos estudar os conteúdos da semana 2 do PET, páginas 20, 21, 22 e 23.

Semana 2 – PA (progressão aritmética), PG (progressão Geométrica) e Sistema de Equações lineares.
A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.
Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.
Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.
A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.
Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.
Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.
Progressão aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:

Onde,
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:

Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:
an = a1 + (n – 1) r
Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x – r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus componentes representados por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r).
Tipos de PA
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:
1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, …), onde r = 0
2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, …), onde r = 2
3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.
Exemplo: PA = (4, 2, 0, – 2, – 4, …), onde r = – 2
As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.

Soma dos termos de uma PA
A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:
S= ((a_1+ a_n ).n)/s
Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.
Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:
S_n= (n . [ 2.a_1+(n-1).r ])/2
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):
a_m= (a_1+ a_n)/2
Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do antecessor e do sucessor.

Progressão geométrica (PG)
Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:
Onde,
q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:

Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).
Tipos de PG
De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:
1. Crescente: a razão é sempre positiva (q > 0) e os termos são crescentes;
Exemplo: PG: (3, 9, 27, 81, …), onde q = 3.
2. Decrescente: a razão é sempre positiva (q > 0), diferente de zero (0), e os termos são decrescentes;
Exemplo: PG: (-3, -9, -27, -81, …), onde q = 3
3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = – 2
4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, …), onde q = 1
Soma dos termos de uma PG
A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
S_n= (a_1.(q^n-1))/(q-1)
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.

S_n= (a_1.(〖1- q〗^n))/(1-q)

Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita a fórmula utilizada é:

S_∾= a_1/(1-q)
Termo médio da PG
Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):
a_m= √(a_1 . a_n )

Sistemas de Equações Lineares
Resolver sistemas lineares é uma tarefa bastante recorrente para estudos nas áreas das ciências da natureza e da matemática. A busca por valores desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição para sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de Crammer e o escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas equações, mas que são mais convenientes para sistemas com mais equações. Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações com uma ou mais incógnitas.
Equação linear
O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir:
2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas
a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita
De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por:
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c
Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas.
Resolução de sistemas lineares

Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas
Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:
método da comparação
método da adição
método da substituição
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.

Para aprofundar os conhecimentos na resolução sobre equação linear acesse: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm

Abraços matemáticos a todos!
Thiago Melo.

 

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